世界最好的质数表达式
发布日期：2024-07-22 05:38 点击次数：198
——业余科研之四
几乎所有的科学爱好者，对数学，尤其是对数论这样最纯粹的数学都极感兴趣。数论中有许多引人入胜的趣闻和世界难题，比如最著名的哥德巴赫猜想就是其中之一。
我既然滥竽充数混迹于“科学爱好者”中，自然也不能免俗，尤其是：能不能找到一个质数（素数）公式，代进去１、２、３……，就能得出一个个质数？比如：2、3、5、7、11、13……直至无穷，这个题目大概是最具诱惑力的。许多大数学家都曾投入这一行列，比如欧拉、费马等等，他们找出了许多质数公式，但还没有一个能求出无穷多个质数，更没法求出所有质数。
我看过许多这类书，知道要利用多项式找出这样的公式实际上是不可能的，这已经有人证明过了。那么如果不是多项式行不行呢？没有人能证明行，也没有人能证明不行。
这个题目的难度恐怕大到了难以想象的地步，但它是那么吸引人，由不得不去想。
后来我在《知识就是力量》上发现了一个表达式（不是多项式），是美国教授罗斯·杭斯伯格做出的，它代进去任何一个自然数得出的都是质数，而且能表达出全体质数，一个不拉。杂志称这是目前世界上最好的质数表达式。的确，听起来太理想了。
但我自己用电脑一试验就知道了，这个表达式并不能真正用来求大质数，并没有多少实际作用。而且在代进去大量数字时，只有极个别能出来真正的质数，其余出来的全是2，不过它的确能表达全体质数，一点没错，仅从“表达”这一点上来讲，它确实已经做到了，在这个意义上说的确是世界上最好的。
但这个表达式叫我看起来不舒服，没有美感。它太复杂，不直观，不但需要两个自变量，而且还需要两层表达式才能完成这一“表达”的任务。
在科学中“简洁”就是美，看到这种不舒服的东西就由不得叫人产生一种改进它的愿望，虽然我知道改进一个世界上最好的表达式比骑着自行车上天还要难！
然而功夫不负有心人，我简直没想到，经过钻研居然成功了！我搞出来的表达式只有一个自变量，只有一层表达式，明显比美国佬的东西要简洁得多！
我非常兴奋，找了个数学研究生看，但他看不懂。后来交给师范大学专教数论的老师看，总算看懂了，说理论上没有错误。我有了底，立刻把论文寄出去，谁知道毫无反响。
后来我直接寄到一些高层次的数学刊物，只有一个刊物来了回信，我一看编辑的回信就把我气坏了，我万万没想到全国最高层次的数学刊物的编辑竟然也说了一大篇外行话，什么“没有实际用处”之类，他就不懂得仅仅“表达”本身已经足够了。真是没办法说理。
我本来以为这种科学的东西，任何一个内行看了立刻就能看懂，立刻就能判断它的价值所在。现在我才知道满不是这么回事，没办法，我还得在论文上加上许多本来不必说的解释，说明这个表达式是怎么回事，它的价值何在，以免编辑看不懂。
即使这样，仍是无法发表，看起来没有人对这种趣味性的小东西感兴趣，也没有人对外行的论文感兴趣。最后只好委屈地发表在新疆师范大学学报上，算是“立此存照”吧。不管还算好，学报编辑对我说，你这篇论文不错。
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打个不恰当的夸张的比方，这就像当年发现遗传定律的孟德尔似的，论文无处发表，任何生物学家都不理会这个外行神父的发现。最后他只好发表在一个地方性的小刊物上了，在生物学界任何人都不知道。直到几十年之后，三个生物学家重新发现了这一定律，最后在查阅以往资料时才知道早已有人发现过了。
包头九中物理老师陆家曦解决了世界著名难题，关于组合数学的一个猜想，但在中国论文却发表不出去，没有一个人能看出它的价值，也没有任何一位数学家愿意去钻研一位中学物理老师的论文。
我这个趣味性的小东西当然无法与孟德尔定律及组合数学猜想的价值相比，但比那美国教授的所谓“世界上最好的质数表达式”要更好却是一点不含糊。有这一价值难道还不足以自豪吗？
从这件事我发现，所谓学术刊物的编辑有的水平也就那么回事，如果他真有那么高的水平，不就不用当编辑，而去当数学家了吗？
附：论文原稿能产生全体质数的一元函数的质数表达式
发表于《新疆师范大学学报》2000年第一期
王力德
寻求质数表达式向来是数学界最感兴趣的题目之一，费尔马（Pierre.de.Fermat）、欧拉（Leonhard.Eulor）等著名数学家都曾参加过这个行列。比较近期的如：１９６３年，布雷迪欣（B.M.Bredihin）证明了二元二次函数
Ｆ（Ｘ，Ｙ）＝Ｘ2 ＋Ｙ2 ＋１
对无穷多对整数（Ｘ，Ｙ）都产生质数，但不是产生全部质数，也不是对每对（Ｘ，Ｙ）都产生质数。
又比如，１９７６年滑铁卢大学教授罗斯·杭斯伯格（Ross.Honsberger）根据威尔逊（J.Wilson ）定理，在其所著的《数学珍宝》（Mathematical GemsⅡ）一书中建立了如下函数:
Ｙ—１
Ｆ（Ｘ，Ｙ）＝───［│Ｂ2－１│－（Ｂ2－１）］＋２
２
其中Ｂ＝Ｘ（Ｙ＋１）—（Ｙ！＋１），当（Ｘ，Ｙ）都是自然数时，Ｆ（Ｘ，Ｙ）的值都是质数，且产生全部质数。有文章指出这是寻求质数表达式迄今为止的最好结果（见《知识就是力量》１９９２年第１０期《质数之谜》）。
美中不足的是，上述表达式都是二元函数，而且需要通过一次转换才能得到结果。能不能找到一元函数且能全部产生质数的表达式呢？有人已经证得，任何一元多项式，不可能代入每个非负整数所得的值都是质数。
然而退一步说，能否找到非多项式的一元函数的质数表达式呢？笔者根据威尔逊定理，建立了这样的公式：
┌┌ (n-1)!+1 ┐ (n-1)!+1 ┐
P=(n-2)││─────│－ ─────＋１│＋２ ①
└└ n ┘ n ┘
①式能达到与罗斯·杭斯伯格表达式同样的结果：当ｎ取自然数时，Ｐ只产生质数，且能产生全体质数，而且除偶质数以外，每个奇质数恰好只产生一次。
┌ (n-1)!+1 ┐ (n-1)!+1
①式中│─────│表示不超过─────的最大整数。
└ n ┘ n
即［Ｘ］为Ｘ的求整函数。如［３．１４］＝３；［３］＝３。
威尔逊定理是数论中的著名定理，其表达式为：
Ｐ是质数＜＝＞Ｐ│（（Ｐ－１）！＋１）
这里“│”表示整除的符号。威尔逊定理也可表述为：当且仅当（Ｎ—１）！＋１能被Ｎ整除时，Ｎ是质数。
对①式的证明如下：
ｎ取自然数，只有两种情况，或ｎ为质数，或ｎ为非质数，我们分别证明：
一，ｎ为质数
(n-1)!+1
根据威尔逊定理，─────为整数，故
n
┌ (n-1)!+1 ┐ (n-1)!+1
│─────│＝ ─────
└ n ┘ n
┌ (n-1)!+1 ┐ (n-1)!+1
│─────│－ ───── ＝０
└ n ┘ n
┌┌ (n-1)!+1 ┐ (n-1)!+1 ┐
││─────│－ ─────＋１│＝１ ②
└└ n ┘ n ┘
将②代入①
Ｐ＝（ｎ－２）×１＋２
Ｐ＝ｎ
因ｎ为质数，所以Ｐ为质数。
二，ｎ为非质数
(n-1)!+1
根据威尔逊定理，─────为非整数，故
n
(n-1)!+1 ┌ (n-1)!+1 ┐
１＞───── －│─────│＞０
n └ n ┘
不等式两边乘以—１
┌ (n-1)!+1 ┐ (n-1)!+1
—１＜│─────│－ ─────＜０
└ n ┘ n
不等式两边同时加１
┌ (n-1)!+1 ┐ (n-1)!+1
０＜│─────│－ ─────＋１＜１
└ n ┘ n
┌┌ (n-1)!+1 ┐ (n-1)!+1 ┐
∴ ││─────│－ ─────＋１│＝０ ③
└└ n ┘ n ┘
将③代入①
Ｐ＝（ｎ－２）×０＋２
Ｐ＝２
即Ｐ为质数。
综上所述，当ｎ为任意自然数时，Ｐ恒为质数。又，ｎ的取值范围为全体自然数，可包括全体质数，故①式可表达全体质数。
至于求整函数能否用于数论，这一点是没有疑问的。１９４７年米尔斯（
W.H.Mills）证明存在实数Ｋ使得
n
┌ 3 ┐
Ｐ＝│Ｋ │， ｎ＝１，２，３，……
└ ┘
都是质数。此处［Ｋ］表示不超过Ｋ的最大整数。该式中就使用了求整函数。
对①式需要补充说明的是，我们只是在证明过程中需要将Ｎ分为质数和非质数两种情况进行分析，在实际运算时并不需要事先判定Ｎ是否为质数，只须将自然数Ｎ一一代入①式即可，如果结果为２则说明Ｎ为合数，如果结果为Ｎ则说明Ｎ为质数。但由于当Ｎ比较大的时候，Ｎ！的计算量将非常巨大，以致大到连巨型计算机也无法完成，所以我们并不指望它在寻找未知质数方面具有实际用途，它只具有理论上能产生全体质数的意义。
如果我们认真分析一下，就会发现杭斯伯格表达式与①式一样，也同样是一个从威尔逊定理导出的表达式，也同样是一个仅在理论上产生全体质数而没有所谓“实际用途”的表达式，对于Ｘ和Ｙ的组合来说，绝大多数情况下只产生２，只有极个别情况下才产生奇质数，由于含有阶乘，所以计算量也同样非常巨大。
事实上，既能用来寻找未知质数又能产生全体质数且只产生质数的表达式是否存在还是个问题，所以我们对这类能产生全体质数的表达式不可能再追求有什么“实际用途”，这类表达式的意义其实就在于理论上的“表达”。
重要的是杭斯伯格表达式是目前世界上唯一能产生全体质数且只产生质数的表达式，而①式能达到同样的目的，且比杭式更简洁，自变量更少，这就是①式的全部意义之所在。
2014年7月24日
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